Description：Probabilistic Robotics 第 2 章读书笔记 — 状态/控制/观测/置信度的概率形式化、完整状态与 Markov 假设、运动模型与观测模型、Bayes 滤波通用算法推导
My Notion Note ID：K2E-B-B1-2
Created：2026-06-06
Updated：2026-06-06
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1. 基本概念

状态 $x_t$ ：描述机器人与环境的一切。完整状态 = "未来的最优预测因子"，即 $t$ 之前的任何变量都不会影响 $t$ 之后的状态（等价于 Markov 性）
控制 $u_t$ ：机器人执行的动作（"什么都不做"也是一个 control action）
测量 $z_t$ ：传感器观测结果； $z_{t_1:t_2}$ 表示一段时间的所有测量

2. 概率生成律

运动模型（状态转移）：

$p(x_t \mid x_{t-1}, u_t)$

给定上一状态和控制，对当前状态的概率预测。

观测模型（测量似然）：

$p(z_t \mid x_t)$

给定当前状态，观测到 $z_t$ 的概率。

这两个模型是 Bayes 滤波的完整描述。具体实现（KF、EKF、粒子滤波）的差异在于对这两个模型的参数化假设。

$\text{bel}(x_t) = p(x_t \mid z_{1:t}, u_{1:t})$

在历史所有测量和控制条件下，对当前状态的后验概率分布。

预测信念（更新前）： $\bar{\text{bel}}(x_t) = p(x_t \mid z_{1:t-1}, u_{1:t})$

预测步（全概率公式）：

$\bar{\text{bel}}(x_t) = \int p(x_t \mid x_{t-1}, u_t) \, \text{bel}(x_{t-1}) \, dx_{t-1}$

更新步（Bayes 定理）：

$\text{bel}(x_t) = \eta \, p(z_t \mid x_t) \, \bar{\text{bel}}(x_t)$

$\eta$ 是归一化常数，确保 $\int \text{bel}(x_t) \, dx_t = 1$ 。

这是所有递归贝叶斯滤波（KF、EKF、粒子滤波等）的通用框架。各方法的差异在于对 $p(x_t \mid x_{t-1}, u_t)$ 和 $p(z_t \mid x_t)$ 的参数化，以及对 $\text{bel}(x_t)$ 的表示方式。

一阶 Markov 性：状态 $x_t$ 是完整的，则给定 $x_t$ ，过去的测量和控制不提供额外信息：

$p(x_t \mid x_{0:t-1}, z_{1:t-1}, u_{1:t}) = p(x_t \mid x_{t-1}, u_t)$

$p(z_t \mid x_{0:t}, z_{1:t-1}, u_{1:t}) = p(z_t \mid x_t)$

含义：只有状态 $x_{t-1}$ 和控制 $u_t$ 足以预测 $x_t$ ；只有状态 $x_t$ 足以预测 $z_t$ 。

在实践中：Markov 假设常常只是近似成立（环境有记忆效应、传感器有延迟等）。违反时需要增广状态（如把 bias 加入状态）或用高阶 Markov 模型。

Thrun, S., Burgard, W., & Fox, D. Probabilistic Robotics. MIT Press, 2005. 第 2 章 — 本笔记内容来源