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• Description：概率论核心：随机变量与分布、贝叶斯定理、常见分布、多元高斯分布特殊性质（线性变换/边缘化/条件化/信息形式/马氏距离）、信息论基础（熵/KL散度/Fisher 信息）
• My Notion Note ID：K4-B-1
• Created：2026-06-14
• Updated：2026-06-27
• License：转载欢迎：转载请注明作者 Yu Zhang 并附原文出处（yuzhang.io）

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Table of Contents

• 1. 随机变量与概率基础
  • 1.1 随机变量
  • 1.2 联合分布与边缘化
• 2. 期望、方差与协方差
  • 2.1 期望
  • 2.2 方差
  • 2.3 协方差与协方差矩阵
  • 2.4 相关系数
• 3. 条件概率、贝叶斯与独立性
  • 3.1 条件概率
  • 3.2 全概率公式
  • 3.3 贝叶斯定理
  • 3.4 独立与条件独立
• 4. 常见概率分布
  • 4.1 伯努利分布
  • 4.2 二项分布
  • 4.3 泊松分布
  • 4.4 均匀分布
  • 4.5 指数分布
  • 4.6 正态/高斯分布
• 5. 高斯分布的特殊性质（SLAM 关键）
  • 5.1 线性变换封闭性
  • 5.2 边缘分布
  • 5.3 条件分布
  • 5.4 高斯乘积
  • 5.5 马氏距离
  • 5.6 信息矩阵
• 6. 信息论基础
  • 6.1 熵
  • 6.2 KL 散度
  • 6.3 互信息
  • 6.4 Fisher 信息
• 7. 经典组合概率
  • 7.1 排列
  • 7.2 组合
• References

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1. 随机变量与概率基础

1.1 随机变量（Random Variable）

• 离散型（Discrete）：取值可数，用概率质量函数（PMF） $P(X = x)$ 描述
• 连续型（Continuous）：取值连续，用概率密度函数（PDF） $p(x)$ 描述；$P(a \le X \le b) = \int_a^b p(x)\,dx$
• 累积分布函数（CDF）：$F(x) = P(X \le x)$；连续型 $F(x) = \int_{-\infty}^x p(x')\,dx'$；$p(x) = F'(x)$

1.2 联合分布与边缘化（Joint Distribution & Marginalization）

$$p(x, y) = P(X = x \text{ and } Y = y)$$

边缘化（对其他变量积分/求和）：

$$p(x) = \sum_y p(x, y) \quad\text{（离散）}, \qquad p(x) = \int p(x, y)\,dy \quad\text{（连续）}$$

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2. 期望、方差与协方差

2.1 期望（Expected Value / Mean）

离散有限情形（取值 $x_1, \dots, x_k$，概率 $p_1, \dots, p_k$）：

$$E[X] = \sum_{i=1}^k x_i p_i$$

连续情形（$X$ 有密度 $p(x)$）：

$$E[X] = \int_{\mathbb{R}} x\,p(x)\,dx$$

性质：$E[aX + b] = aE[X] + b$；$E[X + Y] = E[X] + E[Y]$（无论是否独立）

2.2 方差（Variance）

$$\text{Var}(X) = E\!\left[(X - E[X])^2\right] = E[X^2] - E[X]^2$$

多元推广：$\text{Var}(AX) = A\,\text{Var}(X)\,A^T$

$$\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + 2\,\text{Cov}(X_1, X_2)$$

2.3 协方差（Covariance）与协方差矩阵

$$\text{Cov}(X, Y) = E\!\left[(X - E[X])(Y - E[Y])\right]$$

• 方差是协方差特例：$\text{Var}(X) = \text{Cov}(X, X)$
• 多元推广：$\text{Cov}(AX_1, BX_2) = A\,\text{Cov}(X_1, X_2)\,B^T$

协方差矩阵（$n$ 维随机向量 $X$，均值 $\mu = E[X]$）：

$$\Sigma = E\!\left[(X - \mu)(X - \mu)^T\right] \in \mathbb{R}^{n \times n}$$

$\Sigma$ 对称半正定（PSD）；分量线性无关时正定（SPD）。

2.4 相关系数（Correlation Coefficient）

$$\text{Corr}(X, Y) = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\,\text{Var}(Y)}} \in [-1, 1]$$

$|\text{Corr}| = 1$ -> 线性关系；$\text{Corr} = 0$ -> 不相关（但不一定独立）

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3. 条件概率、贝叶斯与独立性

3.1 条件概率（Conditional Probability）

$$p(x \mid y) = \frac{p(x, y)}{p(y)}$$

3.2 全概率公式（Law of Total Probability）

$$p(x) = \sum_y p(x \mid y)\,p(y), \qquad p(x) = \int p(x \mid y)\,p(y)\,dy$$

3.3 贝叶斯定理（Bayes' Theorem）

$$p(x \mid y) = \frac{p(y \mid x)\,p(x)}{p(y)} = \frac{p(y \mid x)\,p(x)}{\int p(y \mid x')\,p(x')\,dx'}$$

• $p(x)$ — 先验（Prior）：观测前对 $X$ 的知识
• $p(y \mid x)$ — 似然（Likelihood）：给定状态 $x$ 观测到 $y$ 的概率
• $p(x \mid y)$ — 后验（Posterior）：观测 $y$ 后更新的估计
• $p(y)^{-1}$ — 归一化常数（Normalizer） $\eta$，与 $x$ 无关

离散情形的计算：

$$\forall x:\; \text{aux}_{x|y} = p(y \mid x)\,p(x), \qquad p(x \mid y) = \frac{\text{aux}_{x|y}}{\sum_{x'} \text{aux}_{x'|y}}$$

3.4 独立与条件独立

边缘独立：$p(x, y) = p(x)\,p(y)$

给定 $Z = z$ 的条件独立：$p(x, y \mid z) = p(x \mid z)\,p(y \mid z)$

$$p(x \mid y, z) = \frac{p(y \mid x, z)\,p(x \mid z)}{p(y \mid z)}$$

注意：边缘独立 $\not\Rightarrow$ 条件独立；条件独立 $\not\Rightarrow$ 边缘独立

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4. 常见概率分布

4.1 伯努利分布（Bernoulli）

$X \in \{0, 1\}$，参数 $p \in [0,1]$：$P(X=1) = p$，$E[X] = p$，$\text{Var}(X) = p(1-p)$

4.2 二项分布（Binomial）

$n$ 次独立伯努利试验，成功 $k$ 次：

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad E[X] = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p)$$

4.3 泊松分布（Poisson）

单位时间事件次数，参数 $\lambda > 0$（平均率）：

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad E[X] = \lambda, \quad \text{Var}(X) = \lambda$$

4.4 均匀分布（Uniform）

$X \sim \mathcal{U}(a, b)$：$p(x) = \frac{1}{b-a}$（$a \le x \le b$），$E[X] = \frac{a+b}{2}$，$\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

4.5 指数分布（Exponential）

等待时间，参数 $\lambda > 0$（率）：$p(x) = \lambda e^{-\lambda x}$（$x \ge 0$），$E[X] = 1/\lambda$，$\text{Var}(X) = 1/\lambda^2$；无记忆性：$P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$

4.6 正态/高斯分布（Gaussian）

一元高斯，均值 $\mu$，方差 $\sigma^2$：

$$p(x) = (2\pi\sigma^2)^{-1/2}\exp\!\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}, \quad X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$$

多元高斯（$n$ 维），均值 $\mu \in \mathbb{R}^n$，协方差矩阵 $\Sigma$（SPD）：

$$p(x) = \det(2\pi\Sigma)^{-1/2}\exp\!\left\{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right\}, \quad X \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma)$$

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5. 高斯分布的特殊性质（SLAM 关键）

5.1 线性变换封闭性

若 $X \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma)$，则 $Y = AX + b \sim \mathcal{N}(A\mu + b,\; A\Sigma A^T)$

5.2 边缘分布（Marginalization）

对联合高斯，分块表示：

$$\begin{bmatrix} X_a \\ X_b \end{bmatrix} \sim \mathcal{N}\!\left(\begin{bmatrix}\mu_a\\\mu_b\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}\Sigma_{aa}&\Sigma_{ab}\\\Sigma_{ba}&\Sigma_{bb}\end{bmatrix}\right)$$

则边缘分布 $X_a \sim \mathcal{N}(\mu_a,\; \Sigma_{aa})$，只需取对应块。

5.3 条件分布（Conditioning）

给定 $X_b = x_b$：

$$X_a \mid X_b = x_b \;\sim\; \mathcal{N}(\mu_{a|b},\; \Sigma_{a|b})$$ $$\mu_{a|b} = \mu_a + \Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}(x_b - \mu_b)$$ $$\Sigma_{a|b} = \Sigma_{aa} - \Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}\Sigma_{ba} \quad\text{（Schur 补形式）}$$

5.4 高斯乘积（Product of Gaussians）

两个高斯乘积（归一化前）仍是高斯。信息形式（精度矩阵 $\Omega = \Sigma^{-1}$，信息向量 $\xi = \Omega\mu$）：

$$\Omega_{12} = \Omega_1 + \Omega_2, \qquad \xi_{12} = \xi_1 + \xi_2$$

5.5 马氏距离（Mahalanobis Distance）

$$d_M(x, \mu) = \sqrt{(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}$$

• 欧氏距离的推广，考虑各维度方差与协方差
• $d_M^2$ 服从 $\chi^2(n)$ 分布（$n$ 维高斯）
• SLAM 异常点剔除：$d_M^2 > \chi^2_{0.95}(n)$ 判定为 outlier

5.6 信息矩阵（Information / Precision Matrix）

$$\Omega = \Sigma^{-1}, \qquad \xi = \Omega\mu$$

高斯的信息形式（Canonical Form）：

$$p(x) \propto \exp\!\left\{-\frac{1}{2}(x^T\Omega x - 2\xi^T x)\right\}$$

• 多个独立高斯因子乘积：$\Omega_{\text{total}} = \sum_i \Omega_i$，$\xi_{\text{total}} = \sum_i \xi_i$
• SLAM BA：$H = J^T\Omega_r J$，$\Omega_r$ 为观测噪声的信息矩阵

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6. 信息论基础

6.1 熵（Shannon Entropy）

离散随机变量：

$$H(P) = -\sum_x p(x)\log_2 p(x) = E[-\log_2 p(x)]$$

$-\log_2 p(x)$ = 最优编码 $x$ 所需 bits；$H$ 衡量不确定性（均匀分布时最大）

连续（微分熵）：$h(p) = -\int p(x)\log p(x)\,dx$（$\log$ 取自然对数，单位 nats；下文 KL 散度同）

6.2 KL 散度（Kullback-Leibler Divergence）

$$D_{KL}(P \| Q) = \sum_x p(x)\log\frac{p(x)}{q(x)} = E_P\!\left[\log\frac{p(x)}{q(x)}\right] \ge 0$$

• 衡量分布 $P$ 与参考分布 $Q$ 的"距离"（非对称：$D_{KL}(P\|Q) \ne D_{KL}(Q\|P)$）
• $D_{KL} = 0 \Leftrightarrow P = Q$

6.3 互信息（Mutual Information）

$$I(X; Y) = D_{KL}\big(p(x,y) \| p(x)p(y)\big) = H(X) - H(X \mid Y) \ge 0$$

$I = 0 \Leftrightarrow X, Y$ 独立；衡量两变量共享的信息量

6.4 Fisher 信息（Fisher Information）

对参数 $\theta$ 的单参数情形：

$$\mathcal{I}(\theta) = E\!\left[\left(\frac{\partial}{\partial\theta}\log p(X;\theta)\right)^2\right] = -E\!\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\log p(X;\theta)\right]$$

Cramér-Rao 下界（CRB）：任意无偏估计量 $\hat\theta$ 的方差满足

$$\text{Var}(\hat\theta) \ge \mathcal{I}(\theta)^{-1}$$

多参数推广：Fisher 信息矩阵 $\mathcal{I}(\theta)_{ij} = -E\!\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}\log p\right]$

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7. 经典组合概率

7.1 排列（Permutation）

从 $n$ 个对象中取 $k$ 个的有序排列：

$$P(n, k) = n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$$

7.2 组合（Combination）

从 $n$ 个对象中取 $r$ 个的无序组合：

$$\binom{n}{r} = C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{P(n,r)}{r!}$$

分母 $r!$ 消除了顺序（有序排列数 ÷ $r$ 个对象自身的全排列数）。

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References

• Thrun, S., Burgard, W., & Fox, D. Probabilistic Robotics. MIT Press, 2005 — 贝叶斯滤波、高斯分布在机器人中的应用
• Bishop, C. M. Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, 2006 — 高斯条件化/边缘化的完整推导、信息形式
• Cover, T. M., & Thomas, J. A. Elements of Information Theory (2nd ed.). Wiley, 2006 — 熵、KL 散度、互信息、Fisher 信息
• Kay, S. M. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. Prentice-Hall, 1993 — Cramér-Rao 下界与 Fisher 信息矩阵